6月 29 2005
射影幾何学入門
博多のジュンク堂で数学書のコーナーを見て回っていたら「射影幾何学入門」という本を見つけた。今時、射影幾何学などいった分野は流行らないのだろう、書棚の隅にポツンと一冊だけ孤立したかのように置いてあった。わたしの中では、最近、視野空間がマイブームなので、何かの役に立つのではないかと思い、手に取ってみることに。
ページをめくってみてビックリ仰天。まず、いきなり出足の章のタイトルが「古代エジプトと幾何学的精神」ときた。そして、文章自体が明らかに数学書のそれではない。カルシウムがサル（塩）的な力を持つとか、天秤座は黄道12宮の中で唯一、無機物であるとか、極めて錬金術的なインスピレーションに富んだ文章がちりばめられているのだ。これって、ほんま、数学書かいな？と訝しがるわたしを差し置いて、この本はイケイケドンドンでガンガン飛ばしてくれる。「ユークリッド的計量は天上的なものの地上化である」「月とは物質、太陽とは精神である」等、アクセル踏みっぱなし。。そして、中盤からは何ひとつ臆することもなくシュタイナー思想が堂々と紹介されているではないか——まさか、数学の専門書のコーナーでシュタイナーに遭遇するとは思ってもみなかったので、思わず、その場で立ち尽くし、生唾をごっくん。ページを次々に読み進んだ。ところが、これが面白い。面白すぎ。
何ぃ〜？射影空間はエーテル的空間で、ユークリッド空間は物質的空間である——だとぉ〜。射影空間においては点と面は双対関係にある——双対射影空間から生まれる双対ユークリッド空間のことをシュタイナーは負のユークリッド空間、もとくはエーテル空間と呼んだ——だとぉ〜。。今までヌース理論の空間論、特にψ1〜ψ2、ψ3〜ψ4という観察子概念の構築の中で考えていた内容とそっくりそのまま同じことが、別の言葉できっちりと定格化され説明づけされているではないか。と言って、この内容はニューエイジを対象とする妖しげな通俗書の類いでもなく、射影直線に始まって、射影平面、射影空間と、数式が苦手な読者にも射影幾何学の醍醐味が分かるように親切丁寧に構成されてもいる。おまけに、植物や動物の形態形成がある程度は射影空間の考え方で説明できること、さらには、プラトン立体に関しても射影幾何学的な見方から野心的な示唆を施したりもしている。こんなスタイルの本、数学書としては初めて読んだ。実に気持ちのいい快著である。
著者の丹波敏雄氏は津田塾大の教授をやっている方らしい。長年、ゲーテ・シュタイナー的自然科学を研究されている御仁だということで至極、納得。この本自体は、20世紀前半にシュタイナー思想をもとに幾何学研究を行っていたG・アダムスやL・エドワードの仕事を通して、射影幾何学の解説を試みることを主眼に置いているようだ。
この著書の中で、丹羽氏は、射影空間を特徴づける公理がユークリッド空間のそれよりも対称性に満ち、単純な形をとっていることから、射影空間は原型的な空間であると断言している。ヌース理論の言葉でいえば、射影空間は外面的であり、ユークリッド空間は内面的であるということだ。その意味で言えば原型的な空間は、感覚そのものを受容する空間であるがゆえに、感覚の対象でなく、理念の対象となる。ヌース理論をよりふくよかな体系に肉付けしていく上で極めて重要な一冊だと感じた。一読をおすすめする。
11月 17 2005
プラトン・コーディネーツ
プラトン立体に関するヌース的解釈については「光の箱船」でも少し書いたが、まだまだ満足のいくものにはなっていない。虚数空間に対してどういう解釈を施し、それをどう取り込むかがまだ曖昧なのだ。現時点では、「奥行き方向に虚軸の本質がある」ということだけは分かってきたが、それをプラトンコーディネーツにどう組み込むかはまだ明確ではない。しかし、解決の兆しはだいぶ見えてきている。数学的なウラを取るのはのはかなり難しそうだが、すくなくともそのストーリーの運びはほぼできあがってきた。今日も、砂子氏に電話で連絡を取り、その概要が物理学的に間違っていないかどうかいろいろとチェックをお願いした。
ポイントとなるのは奥行き方向を虚軸とおいた時に、その虚軸が示す具体的な意味とは何かをどのくらい具体的に示せるかということである。奥行きとはわたしたちが世界に触れることのできる方向性だ。そこは光に満ちたエーテル的空間でもある。観測者と世界とをつなぐ線に「虚」を見るということは、この空間にはモノとモノとをつなぐ実空間と観測者とモノ、もしくは観測者と観測者をつなぐ虚空間とが重畳して混在していることになる。
虚軸がユークリッド空間上の線と違うところは、虚軸上（視野空間上）においては、3次元空間が丸ごと畳み込まれているということだ。目の前でボールをグルグルと回してみるといい。視野空間という場所は、普通にはユークリッド的には視点と呼ばれるにも関わらず、そのボールのグルグルをすべてが受容できる場所となっている。つまり、このことは、幾何学的に言えば、モノと観測者を結ぶ線分には三次元の回転群（SO^3）がすべて畳み込まれているということの証なのである。こうした特殊な線分を虚数軸と見立てると、実は、難解な高次元のトポロジーの話が面白いほどビビッドなイメージとしてわき上がってくる。
射影幾何学的にはSO(3)は3次元射影空間RP^3と同相とされる。RP^3は3次元ユークリッド空間R^3に無限遠平面を加えたものである。視野空間上でモノがグルグルと回転しているときに、その背景に見えているものは何か。それが大空や星空であれば、無限遠平面そのものと言っていい。この宇宙が閉じた3次元球面状のカタチをしているならば、無限遠平面は前に見れば無限の彼方にあるが、後ろに見れば、それはわたしのすぐ後ろの後頭部にへばりついている。いや、もっと言おう。わたしを例の「首無し死体」と見れば、それは今、ここにある視野空間と同じものと言っていい。内面（前方）に見える無限遠を外面側（後方）にグデンと裏返すこと——。こうして、ヌースでは観測者の位置は3次元空間においては無限遠=ココとしか言いようの無い場所として示される。この宇宙の果てはかつてアインシュタインがいったようにわたしの後頭部とつながっているのだが、それは「此処」と同じ場所だということである。さしずめ、マグリットならば、こうした様子を、ドタマに風穴を開けられて宇宙を覗いている初老の紳士の後ろ姿として描くだろう。こうした風景が生き生きとイメージされてくれば虚空間の訪れもそう遠くはない。
ブログなのでこれ以上の深入りは避けるが、いずれにしろ、「観察」という要素を「虚」の幾何学として取り込むと、この空間は様々な複素次元の回転群の多重構造によって埋め尽くされていることが見えてくる。それこそ、見えない天使たちが縦横無尽にこの空間の中を飛び回っている情景が見えてくるわけだ。こうした天使たちの交易ルートが先に挙げた「プラトン・コーディネーツ」と考えてもらえばよい（これは太陽系とも関係あるよ〜ん）。
まもなく、真の等価交換が執り行われているこの天使たちの交易ルートが人間の意識の前にも姿を表してくることになるだろう。それは、地上の天への上昇と呼んでもいいし、天上の地への降下と呼んでもいい。いずれにしろ、かつて誰も見たこともない永遠の都市空間へのリフォームが開始されるはずだ。人類初の劇的ビフォーアフター。わぁおぅ、もとのオウチじゃないみたい!!
By kohsen • 01_ヌーソロジー • 0 • Tags: エーテル, ケイブコンパス, プラトン立体, マグリット, ユークリッド, 無限遠